Piccole
Differenze fra Numeri Primi Consecutivi
Il Lavoro di
Goldston e Yildirim all’American Institute of Mathematics
Il
lavoro presentato quest’anno all’American Institute of Mathematics da Dan
Goldston della San José State University e Cem Yildirim dell’Università
Bogaziçi di Istanbul fornisce un risultato di grande rilievo nello studio dei
numeri primi (http://aimath.org/primegaps/). Tale risultato è correlato
con uno dei più significativi problemi aperti della Matematica, la congettura[1]
di Riemann[2] e,
più specificamente, con un suo sottoproblema noto come congettura dei primi
gemelli.
Si
dicono primi gemelli due numeri primi come 5 e 7 o 11 e 13, ovvero una
coppia di numeri primi in cui il secondo si ottiene sommando due al primo.
Nella serie dei numeri naturali, più ci si allontana dall’unità, più i numeri
primi gemelli diradano. Nonostante ciò, se ne trovano anche dopo cifre molto
alte, ad esempio lo sono 49.331 e 49.333 e anche 14.963.537 e 14.963.539. Attualmente non si è ancora dimostrato se i
primi gemelli sono infiniti o a un certo punto cessano di esistere. Molti
matematici ritengono più probabile che siano infiniti ma, in assenza di prove
formali, tale affermazione non può che essere considerata semplicemente una
congettura. Essa prende appunto il nome di congettura dei primi gemelli.
Quanto
provato da Goldston e Yildirim nel loro recente lavoro costituisce il risultato
più significativo finora ottenuto in favore della validità della congettura dei
primi gemelli, anche se non basta a dimostrarla.
E’
interessante comprendere in che modo il lavoro di Goldston e Yildirim migliora
i risultati precedentemente ottenuti in questo ambito.
Incominciamo con
l’osservare che per risolvere il problema gli studiosi si sono chiesti, più in
generale, come siano distribuiti i numeri primi nell’insieme dei numeri
naturali.
E’ facile osservare che
da uno a venti, otto numeri sono primi, ma dopo il numero venti si ha una
progressiva riduzione secondo uno schema di distribuzione che fu chiarito nel
XIX secolo: se p è un numero primo,
allora la
distanza con il primo successivo è mediamente il logaritmo naturale di p o log p (Teorema dei numeri primi,
v. punto 1 della Scheda Tecnica). Non
si sapeva, però, se fosse sempre possibile trovare una coppia di numeri primi a
una distanza molto diversa dalla media.
Nel 1965 il matematico
italiano Enrico Bombieri (vincitore nel 1974 della medaglia Field) insieme con
Harold Davenport era riuscito a dimostrare che esiste
un numero infinito di coppie di primi che distano tra loro meno della metà
della distanza media (v. prima formula al punto 4 della Scheda Tecnica).
Questo risultato era stato migliorato negli anni Ottanta, con la dimostrazione
che si trovano coppie di primi distanti meno di
un quarto della distanza media (v. terza formula al punto 4 della Scheda Tecnica).
Fino ad oggi, però, non
si sapeva se fosse possibile rendere arbitrariamente piccola questa frazione
della distanza media. Ebbene Dan Goldston e Cem Yildirim hanno presentato la
soluzione di questo problema che aveva resistito all’attacco di generazioni di
teorici dei numeri. Hanno dimostrato, infatti, che data una frazione della distanza media, non importa quanto
piccola, vi è un numero infinito di coppie di primi più vicini della distanza
rappresentata da quella frazione (v. punto 5 della Scheda Tecnica).
Al
di là dei risultati provati, però, il vero punto di forza del lavoro di
Goldston e Yildirim risiede nell’approccio metodologico adottato (v.”L’approccio di Goldston e Yildirim” nella Scheda Tecnica).
Tale approccio potrebbe determinare una svolta radicale nella ricerca sulla
distribuzione dei numeri primi ed aprire la strada a nuovi lavori abbattendo
quella che, almeno per gli ultimi 80 anni, è sembrata essere una barriera
insormontabile che ha bloccato ogni progresso in questo ambito della Teoria dei
Numeri.
Scheda Tecnica
Primi Gemelli: due primi, pn
e pn+1, si dicono gemelli se la loro differenza
è 2, ovvero se per essi sussiste la relazione:
pn+1
– pn = 2
Congettura dei primi gemelli: la congettura asserisce che esistono infinite
coppie di primi gemelli, ovvero che esistono infiniti ‘n’ tali che
pn+1
– pn = 2
dove pn e pn+1 sono
rispettivamente l’n-esimo e l’(n+1)-esimo numero primo.
Teoremi fondamentali per lo studio della distribuzione dei primi:
1)
La media (statistica) di
pn+1 – pn è log pn
(Teorema dei Numeri Primi)
2)
In virtù del Teorema dei Numeri Primi
vale la seguente disuguaglianza:
|
D = |
lim inf |
(pn+1
– pn) |
< 1 |
|
|
n®¥ |
log pn |
|
Risultati precedenti al lavoro di Goldson e Yildirim:
3)
Se vale l’Ipotesi Generalizzata di
Riemann, detto D il limite inferiore definito al punto 2), si
ha
D < 2/3 (Hardy e Littlewood
nel 1926)
D < 3/5 (Rankin
successivamente)
4)
Senza far ricorso all’Ipotesi Generalizzata di
Riemann (o a qualsiasi altra asserzione non dimostrata), in virtù del teorema
di Bombieri-Vinogradov si ha
D < 1/2 (Bombieri e
Davenport nel 1966)
D < 0.44254...
(Huxley nel 1977)
D < 0.2486... (Maier nel 1986)
Risultati dimostrati da Goldson e Yildirim:
5)
Detto D il limite definito al punto 2), vale la seguente relazione:
D = 0
6) Detti pn e pn+1 rispettivamente l’n-esimo
e l’(n+1)-esimo numero primo, per infiniti valori di ‘n’ sussiste la seguente relazione:
pn+1
– pn < (log pn)8/9
L’approccio di Goldson e Yildirim. Goldston e Yildirim hanno trovato una maniera
molto interessante di approssimare, in media, somme di ennuple di primi. In
base ad un risultato ottenuto da Gallagher, è noto che in un piccolo intervallo [N, N + l logN] i numeri primi sono distribuiti secondo
una variabile casuale di Poisson di parametro l. Goldston e Yildirim
hanno impiegato questo modello nella scelta dell’approssimazione e, ricorrendo
alla Teoria dei Polinomi Ortogonali, anno espresso l’approssimazione ottimale
nei termini di un polinomio di Laguerre.
E’ interessante osservare che, siccome
il loro approccio si basa sul metodo di Hardy-Littlewood e Bombieri-Davenport
(teorema di Bombieri-Vinogradov), essi riescono a porsi sotto ipotesi più
generali rispetto a quelle del lavoro di Gallagher che si basa solo sulla
congettura di Hardy-Littlewood, pertanto i risultati da essi ottenuti non sono
vincolati all’assunzione dell’ipotesi generalizzata di Riemann ma sono
assolutamente incondizionati.
Secondo quanto detto in http://aimath.org/primegaps/goldston_tech
l’approccio di Goldston e Yildirim apre nuove prospettive almeno per due motivi:
a)
il fattore 1/9 all’esponente di log pn nella relazione del
punto 6) non è il migliore che il metodo possa fornire, ma è verosimile che il
risultato possa essere ulteriormente migliorato se si prendono in
considerazione i termini di ordine più basso forniti da questo metodo;
b)
il termine di errore trovato da Gallagher
nella somma di “serie singolari” può essere migliorato, eventualmente
impiegando idee espresse in un recente lavoro di Montgomery e Soundararajan (http://arxiv.org/abs/math.NT/0003234).
[1] La congettura di Riemann è un insieme di asserti introdotti dal matematico tedesco Georg Bernhard Riemann per caratterizzare la distribuzione dei numeri primi nell’insieme dei numeri naturali. Attualmente non è stato ancora dimostrato né che tale congettura sussista né che non sussista.
Dopo la dimostrazione dell’ultimo teorema di Fermat la congettura di Riemann resta probabilmente il più importante problema irrisolto della Matematica. Inoltre la congettura di Riemann è molto importante perchè una sua risoluzione comporterebbe la risoluzione di una moltitudine di problemi di teoria dei numeri e anche una grande semplificazione della teoria, infatti basti pensare che molte dimostrazioni in teoria dei numeri sono impostate nel modo seguente: 1) se la congettura di Riemann è vera, allora ... 2) se la congettura di Riemann è falsa, allora ...
[2] Georg Friedrich Bernhard Riemann nasce a Breselenz nel 1826. Studia a Goettingen con Gauss poi a Berlino con Jacobi e Lejeune-Dirichlet. Discute la sua tesi nel 1851 a Goettingen e nel 1859 ottiene la cattedra che fu di Gauss. Muore a 40 anni di tubercolosi a Selasca , un paesino sul lago Maggiore dove si era recato per cure.
Riemann è stato un visionario della matematica che, in poco tempo, ha introdotto vari concetti rivoluzionari in geometria (superfici di Riemann, geometria riemanniana), analisi (teoria del potenziale, integrale di Riemann) e aritmetica (funzione zeta, congettura di Riemann).